Universidade Federal de Mato Grosso do Sul Curso de Matemática Pólo: Água Clara Acadêmicos: Marlon Borges Lorenzoni e Ronaldo Ferreira da Silva Julho de 2012
Oficina sobre função trigonométrica cosseno para o ensino médio
Definição do triângulo retângulo
¢A fim de definir as
funções trigonométricas de um ângulo agudo não
nulo , considera-se um triângulo
retângulo que possui um ângulo igual a . As
funções são definidas como:
¢
¢
Definição no ciclo trigonométrico
¢A definição das
funções trigonométricas pode ser generalizada para um ângulo θ real qualquer
através do ciclo
trigonométrico. O ciclo trigonométrico é um círculo de raio unitário
centrado na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Como cada
ponto pertencente ao ciclo está a uma distância 1 da origem, o teorema de
Pitágoras afirma que:
¢
¢E, ainda, para cada
ângulo θ existe um único ponto P pertencente ao círculo, tal que o segmento faz um
ângulo θ com o eixo x.
¢Neste caso, o seno é
definido como a projeção do segmento OP sobre
o eixo y. O co-seno é
definido como a projeção do segmento OP com
o eixo x. Isto é:
Comparação do círculo
trigonométrico com o gráficTabela trigonométrica
Tabela de cálculo dos
principais ângulos trigonométricos
o da função no eixo
Análise da função cosseno
¢Gráfico de f(x) = cos x
¢Associa a cada número
real x o número
y=cos x
¢Domínio: Como x pode assumir qualquer valor real: D=R
¢Conjunto Imagem: Como cosseno possui
valor máximo e mínimo, que são respectivamente 1 e -1, o conjunto imagem se
encontra no intervalo entre esses valores: Im=[-1,+1]
¢Gráfico: Ele sempre se repete no intervalo de 0 a 2π . Esse
intervalo é denominado cossenóide. Para
construir o gráfico basta escrever os pontos em que a função é nula, máxima e
mínima no eixo cartesiano.
¢Período: É sempre o comprimento da cossenóide. No caso
da função f(x) = cos x , a cossenóide caracteriza-se pelo
intervalo de 0 a 2 π , portanto o período é 2 π .
¢Sinal da Função: Como o cosseno x é a
abscissa do ponto-extremidade do arco:
—f(x) = cos x é
positiva no 1° e 4° quadrante (abscissa positiva).
—f(x) = cos x é
negativa no 2° e 3° quadrante (abscissa negativa).
de coordenadas.
Comparação do círculo
trigonométrico com o gráficoAmplitude e Período
¢Em problemas de
Física, são muito usados os termos amplitude e período de uma oscilação. A
amplitude de uma oscilação é metade da distância entre os valores máximo e
mínimo. Assim, tanto a amplitude da função seno quanto da função cosseno é 1.
¢O período de uma
oscilação é o tempo necessário para que a oscilação complete um ciclo. O
período da função seno é 2π porque este é o valor de t no momento em que P
completa uma volta em torno do círculo; pela mesma razão, o período da função
cosseno também é 2π.
¢Para descrever
períodos e amplitudes quaisquer, usamos funções da forma
¢y =
Asen(Bt) e y = Acos(Bt)
¢Nessas fórmulas, A é
a amplitude e 2π/B é o período.
¢A figura abaixo apresenta os gráficos do seno e do cosseno.
da funçã¢Ao observar essa
figura, podemos ver que os gráficos do seno e do cosseno têm exatamente a mesma
forma, só que deslocados horizontalmente. Como o gráfico do seno é o gráfico do
cosseno transladado de unidades para a direita, temos:
Essa
igualdade indica que o seno de qualquer número é igual ao cosseno do número que
está a π/2 unidades à direita na reta realo no eixo de coordenadas.
